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Breitengrad und Längengrad bestimmen - Mathematik

Tipp von Redaktion
Ein Abriss geographischer Längen- und Breitenbestimmung

Vermessenes Land, verwegene Seefahrt

Die Schatzkarte aus Kindertagen. Die letzte Meldung über die Position einer Raumsonde am Rande der Milchstraße. Stets übt das Wissen, wo sich etwas auf und um unsere Erde befindet, einen gewissen Zauber aus. Gleichzeitig erachten wir Routenplanung und Standortbestimmung als selbstverständliches Feature unserer digitalen Welt. Allerdings war über Jahrhunderte hinweg die Bestimmung der Längen- und Breitengrade nicht nur zur Vermessung und Entdeckung der Erde notwendig. Für Schiffsbesatzungen war die genaue Peilung der Position neben vielen anderen Herausforderungen auf See eine Frage des Überlebens. Erst ab Mittelalter und Neuzeit fanden bahnbrechende technische Errungenschaften wie Kompass, Fernglas, Chronometer, Sextant, Radar bis hin zum GPS praktischen Gebrauch und allgemeine Verbreitung. Theoretische Grundlagen zur Berechnung und Feststellung geographischen Koordinaten etablierte sich hingegen schon in der Antike als mathematische Disziplin, der Sphärischen Trigonometrie.

Die Erde im vollen Umfang

Bereits die alten Ägypter und Babylonier erstellten Karten zur Landvermessung, aber auch zur Darstellung des damaligen Weltbildes in Bezug auf Religion und Herrschaft. Erste Karten auf dem europäischen Festland gehen vermutlich auf die Arbeit des Griechen Anaximanders zurück, ein im Jahre 610 vor Christus geborener Schüler Thales. Doch vor allem die Entdeckungen des großen Mathematikers Pythagoras waren ausschlaggebend für die damalige Entwicklung der Geometrie. Als einem der ersten Gelehrten gelang ihm im 6. Jahrhundert vor unserer Zeit der Beweis des nach ihm benannten Satz des Pythagoras. Dieser erlaubte die exakt Berechnung der Seitenverhältnisse eines rechtwinkligen Dreiecks. Auch auf Grundlage seiner Annahme, die Erde sei eine Kugel, konnten nachfolgenden Gelehrte wie der ebenfalls griechische Mathematiker Eratosthenes, geboren im Jahre 276 vor Christus, den Umfang der Erde berechnen.

Es geht rund im Sonnensystem

Die Lage eines Ortes auf der Erde mithilfe von Breiten- und Längengraden wurde zuerst durch den vermutlich um 190 v. Chr. auf Rhodos geborenen Hipparchos errechnet, obschon ungenau. Ebenso ungenau waren die Berechnung des ägyptischen gelehrten Claudius Ptolemäus, geboren um 100 unserer Zeit. Ferner war seine Vermutung, die Sonne kreise um die Erde trotz seines ansonsten wegweisenden Einflusses arg irreführend. Erst die Arbeiten der persischen Mathematiker und Astronomen Abū al-Wafāʾ (geboren 940) und Abu Nasr Mansur (geboren 960) lieferten neue Kenntnisse in der trigonometrischen Beweisführung. Darauf aufbauend kam der um 973 im heutigen Uzbekistan geborene Al-Biruni zur Erkenntnis, die Erde rotiere um eine Achse und er konnte somit Längen- und Breitengraden genauer bestimmen als zuvor.

Neue Welt und neue Zeit

Die Entdeckung Amerikas 1492 durch Kolumbus, geboren 1451, die Abkehr vom Ptolemäischen Weltbild durch die sogenannte Kopernikanische Wende des polnischen Astronomen Kopernikus (geboren 1473), ließen mit der damit einsetzenden Neuzeit die Festlegung von Geografischer Länge und Breite noch präziser zu. Auch deutsche Wissenschaftler wie der im Jahr 1436 geborene Johannes Müller von Königsberg oder Johannes Werner, geboren 1468, leisteten einen wichtigen Beitrag zur Positionsbestimmung. Zu einer Zeit, als sich Seefahrer weiterhin an Position und Lauf der Sterne orientierten. Erst Entwicklungen des niederländischen Wissenschaftlers Christian Huygens (geboren 1695) und des Uhrmachers John Harrison (geboren 1693) aus England, erleichterten die Standortbestimmung zu Lande wie zu Wasser ungemein. Weithin wurde seither angenommen, dass die um die Sonne kreisende Erde in einem sphärischen Koordinatensystem zu erfassen ist, dass aus Breiten- und Längengraden besteht.

Koordinatensystemen kugelrund kalkuliert

Die vom englischen Mathematiker James Inman (geboren 1776) entwickelte Haversine Gleichung, macht die Kalkulation von Koordinatensystemen kugelförmiger Körper mathematisch anschaulich. Als trigonometrische Funktion haversine(θ)= sin²(θ/2) dargestellt, dient sie der Entfernungsberechnung, wobei in der praktischen Anwendung südliche Breitengrade und westliche Längengrade als negative Werte einzusetzen sind. Der Berechnungsformel zugrunde liegen der als konstant angenommen Erdradius r (6378,137 km), die Distanz zwischen zwei Punkten d, der Breitengrad ϕ1,ϕ2 und der Längengrad λ1,λ2:

haversine(d/r) = haversine(ϕ2-ϕ1) + cos(ϕ1)cos(ϕ2)haversine(λ2-λ1)

Daraus ergibt sich die Formel zum Berechnen der kürzesten Distanz auf der Kugeloberfläche:

d=2⋅r⋅sin-1(√ sin2((ϕ2-ϕ1)/2) + cos(ϕ1)⋅cos(ϕ2)⋅sin2((λ2-λ1)/2))

Beim Auslaufen lang und breit Zeit nehmen

Die Geographische Breite ermittelt sich übrigens aus dem Winkel zweier Seiten, deren Scheitelpunkt am Erdmittelpunkt zu finden ist, wobei sich ein Seitenendpunkt am Äquator und der andere nördlich oder südlich davon befindet. Somit vergrößert sich der Winkel von 0° bis 90° in jeweils nördlicher oder südlicher Richtung. Die Längengrade orientieren sich hingegen am sogenannten Nullmeridian. Diese gedachte Linie vom Nord- zum Südpol, verläuft aus historischen Gründen durch Greenwich, dem heutigen Vorort von London, unweit der Themse. Dort ermöglichte im 19. Jahrhundert ein sogenannter Zeitball den seewärts auslaufenden Schiffen das genaue Abgleichen der Uhren an Bord. Zur Berechnung des Längengrades wird eine Linie zwischen Erdmittelpunkt und dem Schnittpunkt zwischen Nullmeridian und dem Äquator angenommen. Eine zweite Seitenlinie ergibt sich zwischen dem in westliche oder östliche Richtung vom Nullmeridian abweichenden Punkt und dem Scheitelpunkt beider Linien in der Erdmitte. Der daraus entstehende Winkel zwischen 0° und 180° legt die westliche oder östliche Geographische Länge fest.
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