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Volumen eines Kegels ausrechnen - Mathematik

Tipp von Redaktion

Allgemeines über Rotationskörper

Rotationskörper sind Körper, deren äußere Konturen über den gesamten Umfang den gleichen Abstand von einer gedachten Achse, der Rotationsachse, haben. Rotationskörper entstehen also durch Rotation einer erzeugenden Linie um eine Rotationsachse. Um auf die praktische Entstehung von Rotationskörpern einzugehen, seien an dieser Stelle alle Körper aufgeführt, die durch Bearbeitung auf einer Drehmaschine hergestellt werden können. Dabei kann die äußere Kontur jede beliebige Form annehmen. Der wohl einfachste Rotationskörper ist der Zylinder. Seine erzeugende Fläche ist ein Rechteck mit der Breite r als halber Durchmesser des Zylinders.

Der Kegel, dessen mathematische Behandlung hier vertieft werden soll, ist ebenfalls ein Rotationskörper. Seine erzeugende Fläche ist ein rechtwinkliges Dreieck, wobei seine Höhe (h) eine Kathete, der Radius (r) der Grundfläche die andere Kathete darstellt.

Entscheidend bei der Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers ist, dass seine erzeugende Fläche, welche um die Rotionsachse rotiert, an keiner Stelle die Rotationsachse schneiden darf.

Erzeugende Fläche eines Rotationskörpers

Jeder Rotationkörper hat eine erzeugende Fläche (A). Man erhält diese erzeugende Fläche, indem man den Rotationskörper gedanklich entlang seiner Rotationsachse durchschneidet. Die Rotationsachse liegt also genau auf der Schnittfläche. Die erzeugende Fläche wird dann gebildet durch die äußere Kontur des Rotationskörpers, die sich als Linie darstellt und zwei gewählten Achsenabschnitten, welche beide senkrecht auf der Rotationsachse liegen. Diese erzeugende Fläche wird dann umrandet von der äußeren Kontur des Rotationskörpers, den beiden Achsenabschnitten und dem Stück Rotationsachse, welches genau zwischen den beiden Achsenabschnitten liegt.

Flächenschwerpunkt der erzeugenden Fläche

Jede Fläche mit einer festgelegten Größe hat einen Flächenschwerpunkt. Denkt man sich die Fläche gleichförmig mit Masse behaftet, so ist ihr Flächenschwerpunkt derjenige Punkt, an welchem die Fläche abgestützt, sich in jeder beliebigen Lage im Gleichgewicht befindet.

Weg des Flächenschwerpunktes um die Rotationsachse

Der Flächenschwerpunkt hat einen bestimmten, senkrechten Abstand X(s) von der Rotationsachse. Lässt man die erzeugende Fläche einmal um ihre Rotationsachse rotieren, so beschreibt auch der Flächenschwerpunkt einen Kreis mit diesem Radius X(s) des senkrechten Abstandes zur Rotationsachse.

Der Umfang dieses Kreises beträgt:

U(s) =2*π*X(s)

Anwendung der Guldinschen Volumenregel

Die zweite Guldinsche Regel, die Volumenregel, beinhaltet zwei Größen, die für die Volumenberechnung eines Rotationskörpers entscheidend sind.

Die erste wichtige Größe ist der Flächeninhalt (A) der erzeugenden Fläche.

Die zweite wichtige Größe ist der Umfang (U(s)) des Kreises, den der Flächenschwerpunkt der erzeugenden Fläche bei einer Volldrehung um die Rotationsachse des Rotationskörpers zurücklegt.

Das Volumen eines Rotationskörpers setzt sich zusammen aus dem Produkt Flächeninhalt (A) der erzeugenden Fläche mal dem Umfang (U(s)) des Schwerpunktskreises.

Als Formel für das Volumen (V) eines Rotationskörpers heißt das:

V = A * U(s)

Rechtwinkliges Dreieck als erzeugende Rotationsfläche beim Kegel

Stellt man sich einen Kegel senkrecht stehend auf seiner kreisförmigen Grundfläche vor und schneidet diesen Kegel mitten durch, so entsteht durch diesen Schnitt ein gleichschenkliges Dreieck. Seine waagerechte Grundseite wird gebildet durch den großen Durchmesser des Kegels. Die beiden gleich langen Seiten des gleichschenkligen Dreiecks werden gebildet durch den Kegelmantel und laufen schräg zu einer Spitze zusammen. Teilt man jetzt dieses gleichschenklige Dreieck durch eine senkrecht auf der Grundseite stehende Linie in zwei gleich große Teile, so verläuft diese senkrechte Linie genau bis zur Spitze des Kegels. Zugleich bildet diese senkrechte Linie die Höhe (h) des Kegels. Durch die Aufteilung des gleichschenkligen Dreiecks in zwei gleich große Teile entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke, wobei ein Dreieck zugleich die erzeugende Fläche des Kegels darstellt. Die Rotationsachse des Kegels liegt genau in der Ebene der erzeugenden Dreiecksfläche und verläuft genau durch dessen senkrechte Höhe (h).

Lage des Flächenschwerpunktes der erzeugenden Dreiecksfläche

Der für die Volumenberechnung des Kegels senkrechte Abstand (X(s)) des Flächenschwerpunktes zur Rotationsachse beträgt:

X(s) = r / 3

Herleitung der Formel zur Berechnung des Volumens eines Kegels

Das Volumen eines Kegels setzt sich zusammen aus:

V = A * U(s)

Darin ist A die erzeugende Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks:

A = r * h / 2

Weiter ist U(s) der Umfang des Kreises, den der Flächenschwerpunkt der erzeugenden Fläche bei einer Volldrehung um die Rotationsachse zurücklegt:

U(s) =2*π*X(s)

U(s) =2 * π * r * / 3; (Mit X(s) = r / 3)

Zusammengefasst:

V = r * h / 2 * 2 * π * r * / 3

V = r2 * π * h / 3

V = d2 * π / 4 * h / 3; (Mit d = 2 * r)

Fazit

Das Volumen eines Kegels setzt sich zusammen aus seiner kreisförmigen Grundfläche mit dem großen Durchmesser (d) des Kegels mal seiner Kegelhöhe (h), geteilt durch drei. Das Volumen eines Kegels ist also immer der dritte Teil des Volumens eines Zylinders mit gleichem Durchmesser und gleicher Höhe.

Die Anwendung der Guldinschen Volumenregel ist auf alle Rotationskörper möglich. Die Gestaltung der Oberflächenkontur ist dabei beliebig.

Der große Vorteil der Guldinschen Volumenregel besteht in seinen erweiterten Anwendungsmöglichkeiten, auch für Segmente von Rotationskörpern, die nicht über den gesamten Umfang verlaufen.

Probieren Sie es aus. Das Volumen stimmt immer.

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