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Wie berechne ich die Fläche eines Parallelogramms

Tipp von Redaktion
Wie der Name der Figur schon verrät, geht es um jeweils zwei parallele Seiten, die sich gegenüberstehen. Wir sprechen von einem Viereck, das aber nicht wie ein Rechteck mit 90-Grad-Winkeln aufgebaut ist, sondern gewissermaßen schief zur Seite gekippt steht. Man stelle sich also einfach vor, dass es eine Kraft gibt, die nur die obere horizontale Seite eines Rechtecks nach rechts oder nach links zur Seite drückt, während die untere horizontale Seite fest an ihrem Platz verbleibt. Im Folgenden geht die Beschreibung davon aus, dass jene Kraft von links nach rechts auf das Rechteck eingewirkt hat, selbiges als nach rechts herüber geschert ist.

Die beschreibenden Größen eines Parallelogramms

  1. a sei die untere horizontale Basislinie des Parallelogramms.


  2. b sei die schräg nach oben orientierte Seite des Parallelogramms.


  3. alpha sei der (spitze) Winkel, der sich zwischen den Seiten a und b ausbildet.


Beide Seiten a und b erscheinen zwei Mal bei einem Parallelogramm. Allerdings ist die oben liegende Seite a gegenüber der Grundlinie a seitlich versetzt. In diesem Fall haben wir uns für einen Versatz nach rechts entschieden. Die schräge Seite b begrenzt das Parallelogramm jeweils auf der linken und auf der rechten Seite.

Wir verändern langsam den Winkel alpha

Wenn wir nun die obere Seite a immer weiter nach rechts drücken, kippt die Seite b immer weiter zur Seite und der Winkel alpha wird kleiner (spitzer), bis schließlich die Seite b ganz und gar auf die Seite a zu liegen kommt und alpha zu null wird. Damit verschwindet zugleich die Fläche des Parallelogramms, das nun nur noch zu einem einzigen Strich geworden ist.

Drehen wir die Seite b in die andere Richtung, stellen sie also immer weiter auf, bis sie schließlich genau senkrecht auf a steht, wächst alpha bis auf 90 Grad an (rechter Winkel) und die Fläche des Parallelogramms erreicht ihr Maximum. In diesem Fall liegt der Sonderfall des Rechtecks vor. Falls a und b ursprünglich gleich lang gewählt worden sind, ist jetzt sogar ein schönes Quadrat entstanden.

Bezug zur Trigonometrie

Wer schon mal etwas von Trigonometrie gehört hat, dem geht jetzt ganz bestimmt ein Licht auf, denn es gibt ja eine sehr bekannte Funktion, die bei einem Winkel von 90 Grad ihren Maximalwert 1 erreicht und bei einem Winkel von null Grad den Funktionswert 0 annimmt. Ja, genau richtig, so verhält sich die Sinusfunktion. Sie muss also irgendwie mit ins Spiel kommen, wenn wir die Fläche des Parallelogramms berechnen möchten.

Betrachtung des entscheidenden Dreiecks

Die schräge Seite b kann man sich nun als die Hypotenuse eines Dreiecks denken. Ausgehend von ihrem höchsten Punkt lassen wir das Lot auf die Basislinie a fallen und bezeichnen diese Strecke als Höhe h. Sie ist gleichsam die Gegenkathete zu dem alles bestimmenden Winkel alpha des Parallelogramms. Für dieses betrachtete Dreieck auf der linken Seite des Parallelogramms gilt die einfache Formel:

sin(alpha) = h / b

oder umgestellt als Bestimmungsgleichung für die Höhe:

h = b * sin(alpha)

Die gesuchte Fläche F des Parallelogramms reduziert sich nun auf die Fläche eines Rechtecks in diese Form:

F = a * h

Hierin finden wir auch sogleich die Bestätigung der obigen Aussagen. Wenn alpha sehr klein wird, tendiert sin(alpha) und damit auch die Höhe h gegen null. Wenn h zu null wird, verschwindet die Fläche des Parallelogramms, das dann auf einen Strich zusammenfällt. Wir fassen also die Berechnungsformel für die Fläche F des Parallelogramms so zusammen:

F = a * b * sin(alpha)

Plausibilität:

Betrachten wir noch einmal das Rechteck, das sich aus den Seiten a und h ergibt. Wegen der schrägen Seite b wird oben links in diesem Rechteck ein Dreieck aus der Fläche herausgeschnitten. Doch auf der rechten Seite des Parallelogramms ragt das exakt gleiche Dreieck noch einmal rechts über das betrachtete Rechteck (a*h) hinaus. Würde man dieses Dreieck nehmen und nach links verschieben, würde es ganz genau die abgeschnittene Fläche oben links ausfüllen und das Rechteck (a*h) komplettieren.

Achtung - nicht mit einem Trapez verwechseln

Man achte bitte sehr genau darauf, ob die Seiten b auf der linken und rechten Seite des Parallelogramms wirklich exakt parallel verlaufen. Falls dies nicht so ganz der Fall ist, liegt nicht die geometrische Figur Parallelogramm, sondern das sogenannte Trapez vor. In diesem Fall wird die Berechnung der Fläche deutlich komplizierter.

Viele stellen sich ein Trapez so vor, als hätte man einem gleichschenkligen Dreieck oben die Spitze mit einer horizontalen Linie abgeschnitten. Zwar kommt dabei sehr wohl ein Trapez heraus, aber es ist der Sonderfall eines symmetrischen Trapezes. Das allgemeine Trapez ergibt sich aus einem beliebig geformten Dreieck, das parallel zu einer seiner Seiten abgeschnitten wird, wobei die Schnittlinie natürlich innerhalb der Fläche des zugrunde gelegten Dreiecks verlaufen muss. Im allgemeinen Fall sind die vier Seiten eines Trapezes a, b, c und d alle unterschiedlich lang. Entsprechend unterscheiden sich auch die vier Winkel in den Ecken.
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