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Quadratwurzel berechnen - ohne Taschenrechner

Tipp von Redaktion
Der erste Schritt, den der moderne Mensch geht, wenn er etwas wissen will: Er fragt Tante Google. Tut man dies bei der Frage der schriftlichen Berechnung der Quadratwurzel, dann erscheinen viele Links, die alle mehr oder weniger brauchbar sind. Die meisten zeigen komplizierte Prozedere, die mit gesundem Menschenverstand einfach nicht zu packen sind.

Deshalb haben wir uns gesagt: Gebraucht wird eine einfache, logische Erklärung, die nicht nur jedes Kind, sondern auch jeder Erwachsene verstehen kann. Wir finden, dass das folgende Iterationsverfahren, also sich in mehreren kleinen Schritten dem richtigen Ergebnis anzunähern, ein Vorgehen darstellt, das wirklich jeder leicht nachvollziehen kann.

Dabei verzichten wir dieses Mal auf die große graue Theorie und legen sofort mit einem sehr einfachen Beispiel los.

Gesucht ist die Quadratwurzel der Zahl 20

Zu allererst müssen wir uns daran erinnern, was die Funktion des "Ziehens der Quadratwurzel" überhaupt meint. Ein Mathematiker würde an dieser Stelle vielleicht sagen: Es handelt sich um die Umkehrfunktion des Quadrierens. Aber macht uns das wirklich schlauer?

Ja, denn diese Antwort führt uns näher an den Kern der Sache heran. Der Mathematiker meinte nämlich, dass das Ergebnis jene Zahl ist, die mit sich selbst multipliziert genau die Zahl ergibt, die unter der Quadratwurzel steht, in diesem Fall also 20 zum Ergebnis hat.

X * X = 20

ist eine Art Umkehrung der Aufgabe

WURZEL(20) = X

Schauen wir doch erst einmal, was wir sowieso schon wissen:

4 * 4 = 16

5 * 5 = 25

Das zeigt uns doch schon, dass unsere gesuchte Zahl, die mit sich selbst multipliziert 20 ergeben soll, irgendwo zwischen 4 und 5 liegen muss. Nehmen wir also den Mittelwert 4,5.

Iteration 1)

Die Zahl in der Aufgabenstellung wird durch den Mittelwert dividiert:

20 : 4,5 = 4,4444

Da das Ganze ja schriftlich ohne Taschenrechner gemacht werden soll, beschränken wir uns hier bei allen Rechengängen auf vier Stellen hinter dem Komma. Was wir mit diesem Schritt erreicht haben, ist das:

4,5 * 4,4444 = 20

Das ist zwar richtig, aber wir suchen doch jene Zahl, die mit sich selbst multipliziert 20 ergibt. Diese beiden Zahlen sind zwar dicht beieinander, aber eben nicht gleich. Ganz offensichtlich befindet sich unsere gesuchte Zahl wieder einmal irgendwo dazwischen. Wie wäre es also wieder ganz einfach mit deren Mittelwert: 4,4722?

Iteration 2)

Wie bei Iteration 1 dividieren wir die Zahl 20 nun durch diesen neuen Mittelwert:

20 : 4,4722 = 4.4721

Sie sehen jetzt, dass wir damit dem Ergebnis schon sehr nahe sind, weil beide Zahlen sehr dicht beieinander liegen, was ja gefordert ist:

4,4722 * 4,4721 = 20

An dieser Stelle dürfen wir davon ausgehen, dass die Wahrheit wieder in etwa in der Mitte dieser beiden Zahlen liegt, also vielleicht bei 4,472150.

Befragen wir zur Kontrolle den Taschenrechner: WURZEL(20) = 4,472136

Abgesehen von unserer ersten Mittelwertabschätzung brauchten wir nur zwei Iterationen, um ein recht genaues Ergebnis zu generieren. Es kommt natürlich auf Ihre Ansprüche an die Genauigkeit an. Wenn die Randnotiz der Aufgabenstellung heißt, dass das Ergebnis bis zur achten Stelle genau sein muss, brauchen Sie noch weitere zwei Iterationen.

Noch ein Beispiel, weil es so schön war

Was ist aber zu beachten, wenn die Quadratwurzel einer Zahl berechnet werden soll, die kleiner als 1 ist? Immer dann, wenn ein Faktor kleiner als 1 ist, wird das Produkt kleiner als die Zahl, die mit dem Faktor zu multiplizieren ist. Am besten, wir wenden uns sogleich wieder einem Beispiel zu:

WURZEL(0,7)

Wir wissen also jetzt schon, dass das Ergebnis größer sein muss als 0,7. Beginnen wir wieder mit dem Trick ganz oben:

0,8 * 0,8 = 0,64

0,9 * 0,9 = 0,81

Da unser Erwartungswert zwischen 0,8 und 0,9 liegen muss, wählen wir wieder den Mittelwert 0,85 und rechnen so wie oben:

0,7 : 0,85 = 0,82353

Dieses Mal gern mit einer zusätzlichen Stelle hinter dem Komma. Das gesuchte Ergebnis muss zwischen 0,85 und 0,82353 liegen, nehmen wir den Mittelwert: 0,836765

0,7 : 0,836765 = 0,836555

Diese beiden Zahlen liegen schon gut beieinander, aber die Genauigkeit reicht uns noch nicht aus, daher nehmen wir nochmals deren Mittelwert: 0,83666

0,7 : 0,83666 = 0,83666

Schon geschafft, genauer geht's bei unserem Beispiel nimmer.

WURZEL(-17)

Nachdem wir nach der Quadratwurzel einer Zahl gefragt haben, die kleiner als 1 ist, können wir natürlich auch nach der Quadratwurzel einer negativen Zahl fragen, zum Beispiel die -17 betrachten. Doch das geht nicht. Im reellen Zahlenraum, in dem wir uns hier bewegen, gibt es dafür keine Lösung. Schuld daran ist die Definition der Quadratwurzel. Wie oben ausgeführt, wird dabei eine Zahl gesucht, die mit sich selbst multipliziert die unter dem Wurzelzeichen befindlichen Zahl ergibt. Aber egal, welche Zahl wir da wählen, es wird immer ein Ergebnis größer oder gleich null dabei herauskommen:

-X * -X = +X hoch 2

Erst in der höheren Mathematik werden solche Ausdrücke möglich, dann nämlich, wenn der Zahlenraum der komplexen Zahlen eingeführt wurde. Doch das ist ein ganz anderes Thema. Für den Moment wollen wir uns mit der Aussage begnügen, dass man aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann.
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