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Binär in hexadezimal umwandeln - Mathematik

Tipp von Redaktion
Es geht um nicht mehr und nicht weniger als die mundgerechte Codierung von Zahlen für Maschinen. Bei dem binären System, das nur auf die Zustände 0 und 1 aufbaut, ist die Motivation offenkundig: Sie repräsentieren ein Aus oder An wie ein Schalter, der eine Verbindung herstellt oder eben nicht.

Das Hexadezimalsystem ist sozusagen ein "Dachverband" des Binärsystems, das sich auf diese Weise komfortabler verwalten lässt. In der Informatik bestehen Datenwörter aus Oktetten. Diese Tatsache hatte sofort zu der Überlegung geführt, diese achtstelligen Binärzahlen als nur noch zweistellige Hexadezimalzahlen darstellen zu können. Dabei wird als Basis des Hexadezimalsystems die vierte Zweierpotenz (16) verwendet. So können "Nibbles" bestehend aus vier Bits genau mit einer Hexadezimalziffer und Bytes (acht Bits) eben mit zwei Hex-Ziffern dargestellt werden.

Um die Frage im obigen Titel beantworten zu können, müssen wir uns kurz mit dem Binärsystem befassen und es verstehen.

Das Binäre System

Jede Zahl lässt sich als Summe anderer Zahlen auffassen und darstellen. So gilt beispielsweise:

17 = 10 + 7 = 8 + 9 = 16 + 1

Das binäre System basiert auf der Zahl 2 und verwendet ausschließlich Zweierpotenzen, um eine Zahl aufzubauen. Bei dem vorliegenden Beispiel wären das 2 (hoch 4) und 2 (hoch 0).

Zur Erinnerung: Jede beliebige Zahl mit dem Exponenten null hat den dezimalen Wert 1.

Im Gegensatz zur Schriftsprache wird die binäre Zahl von rechts nach links aufgebaut, ähnelt also eher der arabischen Schrift. Jede Zahl lässt sich zusammenfügen, indem Zweierpotenzen an- oder abgeschaltet werden. Bei unserem Beispiel 17 sieht das dann so aus:

2 hoch 4, 3, 2, 1, 0 entspricht 16, 8, 4, 2, 1

An- oder ausgeschaltet für die Zahl 17 sind die fünf Positionen in dieser Weise: 1, 0, 0, 0, 1

Betrachtung des Hexadezimalen Systems

Für die Darstellung einer Zahl im hexadezimalen System stehen 16 Ziffern zur Verfügung, sie heißen:

F, E, D, C, B, A, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0

Auf diese Weise können gleich 16 Zustände abgebildet werden. Um dies zu erreichen, braucht man jedes Mal bereits vier binäre Ziffern. Wie nun ganz konkret die Umwandlung einer binären in eine hexadezimale Zahl durchgeführt wird, erläutern wir am besten wieder an einem Beispiel. Beginnen wir also mit einer beliebigen, längeren binären Folge:

101011110011100001

Angeschaltet sind von rechts nach links die folgenden Zweierpotenzen:

2 hoch 0 = 1

2 hoch 5 = 32

2 hoch 6 = 64

2 hoch 7 = 128

2 hoch 10 = 1.024

2 hoch 11 = 2.048

2 hoch 12 = 4.096

2 hoch 13 = 8.192

2 hoch 15 = 32.768

2 hoch 17 = 131.072

Alle anderen dazwischen befindlichen Zweierpotenzen sind mit dem Faktor null belegt und zählen daher nicht. Unter dem Strich wird so die Zahl 179.425 dargestellt. Um nun endlich zu dem für uns durchaus übersichtlicheren Hexadezimalsystem zu gelangen, gruppieren wir die binäre Zahl, wieder von rechts nach links, zuerst in Viererblöcke. Das sieht dann so aus:

0010 1011 1100 1110 0001

Wer genau hinschaut, bemerkt dort jetzt 20 und nicht mehr 18 Ziffern wie zuvor. Dieser kleine Trick ist unserem Bemühen um Viererblöcke geschuldet und die ersten beiden Nullen ganz vorne ändern den Wert der Zahl in keiner Weise. Schauen wir uns nun die Blöcke im Einzelnen an, wieder von rechts nach links:

0001 repräsentiert die 2 hoch 0 und damit den Wert 1, das heißt, wir notieren dafür die hexadezimale Ziffer 1.

1110 dezimal übersetzt bedeutet 8+4+2 = 14, was der hexadezimalen Ziffer E entspricht.

1100 entspricht dem dezimalen Wert 8+4 = 12 und der hexadezimalen Ziffer C.

1011 muss dezimal in 8+2+1 = 11 überführt werden, ist hexadezimal also das B.

0010 ist der vordere, mit Nullen ergänzte Block mit dem dezimalen Wert 2, der auch hexadezimal eine 2 ist.

Damit reduziert sich die lange Kette binärer Einsen und Nullen auf den deutlich übersichtlicheren hexadezimalen Ausdruck:

2 B C E 1

Diese hexadezimale Folge drückt ebenfalls den Zahlenwert 179.425 aus. Wir meinen, die Rücktransformation einer Hex-Zahl in binäre Blöcke ist mindestens genauso einfach.

Kleine Übung zur Rück-Transformation von hex nach binär

Wie sieht der Hex-Ausdruck 79ABC in binärer Form aus?

hex 7 = dezimal 7 = 4+2+1 = binär 0111

hex 9 = dezimal 9 = 8+1 = binär 1001

hex A = dezimal 10 = 8+2 = binär 1010

hex B = dezimal 11 = 8+2+1 = binär 1011

hex C = dezimal 12 = 8+4 = binär 1100

Zusammengefasst gilt also:

79ABC = 0111 1001 1010 1011 1100 = 1111001101010111100

Das ist zwar alles ganz schick und der Computer mag damit sehr glücklich sein, aber wir haben doch überhaupt keine Ahnung, um welche Zahl es sich dabei wirklich handelt. Um ins dezimale System zurück zu finden, kommen wir um das Addieren der angeschalteten Zweierpotenzen nicht herum.

Beginnen wir sogleich mit dem C, das ist einfach, da kommt 12 heraus.

Beim B wurden hier 2 hoch 4, 2 hoch 5 und 2 hoch 7 angeschaltet, das macht 176.

Mit dem A-Block wurden 2 hoch 9 und 2 hoch 11 eingeschaltet, das sind 2560.

Die 9 vor dem ABC besagt, dass 2 hoch 12 und 2 hoch 15 gelten sollen, also zusammen 36864.

Zum Schluss noch die vordere 7, sie schaltet 2 hoch 16, 2 hoch 17 und 2 hoch 18 ein, was in Summe 458752 ergibt.

So haben wir mit unserem Beispiel zur Rücktransformation recht hoch nach den Sternen gegriffen und zufällig die Zahl 498.364 ausgewählt.
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