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Eine Dezimalzahl in eine Oktalzahl umwandeln - Mathematik

Tipp von Redaktion

Was ist eine Oktalzahl?

Unter einer Oktalzahl versteht man eine Zahl, die auf einem Stellenwertsystem mit der Basis 8 aufbaut. Sie verwendet folglich nur die Ziffern 0-7. Der Name leitet sich von octo, dem lateinischen Begriff für acht, ab. Das System wurde im 17. Jahrhundert in Schweden entwickelt, wenngleich nicht hinreichend gesichert ist, ob es König Karl XII., der Wissenschaftler Emanuel Swedenborg oder der Erfinder Christopher Polhem erdacht haben.

Das Dezimalsystem hingegen nutzt die Ziffern 0-9, basiert es doch auf der Basis 10.

Zählt man im Oktalsystem, folgt auf die 7 nicht die 8, sondern stattdessen die 10.

Die Anwendungsbereiche des Oktalsystems

Im Bereich der Computertechnik lässt sich jede einzelne Ziffer der Oktalzahl durch drei Bit ausdrücken. Ebenso lässt sich eine Oktalzahl erzeugen, indem man auf der Grundlage einer Binärzahl durch die Gruppierung von drei Bit eine Oktalzahl formt.

In der Praxis sieht das folgendermaßen aus:

Die Darstellung der Oktalzahl 15 wird im Binärsystem durch die Zusammensetzung der Binärzahlen 1 und 5 dargestellt:

001 (binär) = 1 (oktal)

101 (binär) = 5 (oktal)

Eine 15 im Oktalsystem wird so zu einer binären 001101.

Heutzutage nutzt man Oktalzahlen im Rahmen der Darstellung von Dateizugriffsrechten unter Unix. Die Rechte einer Benutzerklasse werden durch jeweils drei Bit dargestellt.

Früher hatten Datenwörter eine Länge von 24 Bit, sodass sich Oktalzahlen für die Ein- und Ausgabe von Bitmustern aufgrund ihrer Übersichtlichkeit besonders anboten. Zudem ließen sie sich leichter in und vom Binärsystem umwandeln als Dualzahlen und entsprachen exakt dem Wertebereich der 24-Bit-Datenwörter.

Mittlerweile haben sich allerdings Datenwörter mit Längen von 16 Bit, 32 Bit oder 64 Bit durchgesetzt, für die sich das Hexadezimalsystem besser eignet.

Zeichen (8 Bit) hingegen werden weiterhin mithilfe von Oktzalzahlen dargestellt.

Auch in der Luftfahrt findet das System Anwendung: Der Transpondercode (Squawk) eines jeden Flugzeugs bedient sich der Oktalzahlen.

Wie wandelt man eine Dezimalzahl in eine Oktalzahl um?

Eine (natürliche) Dezimalzahl lässt sich in eine Oktalzahl umwandeln, indem man sie wiederholt durch die Basis 8 teilt und die dabei entstehenden Divisionsreste stets notiert.

Ein Praxisbeispiel:

Zuerst teilt man die betreffende Dezimalzahl durch den Faktor 8:

5210 / 8 = 651,25 = 651

Diese Division muss ganzzahlig sein, das heißt, die Nachkommastellen werden nicht berechnet. Sobald man einen Rest hat, der kleiner als 8 ist, gilt die Division als abgeschlossen. Der Rest ist in diesem Fall also gleich die erste Nachkommastelle 2. Dieser Rest wird aufgeschrieben.

Der erhaltene Quotient wird erneut durch 8 geteilt und der Rest wieder vermerkt.

651 / 8 = 81,375 = 81

Der hier zu merkende Rest ist in wieder die erste Stelle nach dem Komma, also 3. Der gesamte Rest ist zunächst 23.

Dieser Prozess wird wiederholt, bis man einen Quotienten erhält, der kleiner als 8 ist. Der Rest wird jedes Mal getrennt aufgeschrieben. Auch der letzte Quotient, also jener, der kleiner als 8 ist, muss vermerkt werden.

81 / 8 = 10,125 = 10 (Rest 1). Der gesamte Restwert beträgt 231.

10 / 8 = 1,25 = 1 Rest 2 (2312)

Die 1 wird ebenfalls zu den Resten hinzugefügt, sodass man einen letztendlichen Rest von 23121 erhält. Indem man diesen umdreht, kommt man zur Oktalzahl.

Die Dezimalzahl 5210 wird zur Oktalzahl umgewandelt demnach als 12132 dargestellt.

Wie wandelt man eine Oktalzahl in eine Dezimalzahl um?

Für die Umwandlung einer natürlichen Oktalzahl in eine Dezimalzahl werden die einzelnen Ziffern mit der jeweiligen Potenz der Basis multipliziert. Der Exponent der Basis entspricht dabei stets der Ziffernstelle. Der am weitesten rechts stehenden Stelle wird die Null zugeordnet. Die Notation der Berechnung erfolgt für gewöhnlich im Dezimalsystem.

Ein Praxisbeispiel:


Oktalzahl: 173 = 1 x 8^2 + 7 x 8^1 + 3 x 8^0 = 123 (Dezimalzahl)

Rationale und reelle Zahlen

Rationale und reelle Zahlen lassen sich im Oktalzahlensystem beliebig darstellen. Der ganzzahlige Teil der Oktalzahl wird durch ein Komma vom gebrochenen Teil getrennt notiert. Sämtliche Werte der Ziffern hinter dem Komma sind mit 8^-i zu multiplizieren. i steht hier für die jeweilige Stelle nach dem Komma.

Ein Praxisbeispiel:


34,56 (Oktalsystem) = 3 x 8^1 + 4 x 8^0 + 5 x 8^-1 + 6 x 8^-2 = 28,71875 (Dezimalsystem)

Für die Umwandlung einer rationalen oder reellen Zahl in umgekehrter Richtung wird eine wiederholte Multiplikation um den Faktor 8 vorgenommen. Der ganzzahlige Bestandteil des Ergebnisses liefert jeweils eine Oktalziffer.

Ein Praxisbeispiel:

0,3984375 (Dezimalsystem):

8 x 0,3984375 = 3,1875

8 x 0,1875 = 1,5

8 x 0,5 = 4,0

Somit ist die umgewandelte Zahl im Oktalsystem 0,314.

Bisweilen findet dieser Multiplikationsprozess kein Ende, sodass auch unendliche Oktalbruchdarstellungen oder periodische Darstellungen denkbar sind.

Fakten rund um das Oktalsystem

In der Popkultur ist das Oktalsystem am prominentesten wohl im Film Avatar - Aufbruch nach Pandora aus dem Jahre 2009 vertreten. Die außerirdischen Na’vi bedienen sich des Systems, da sie an jeder Hand lediglich über vier Finger verfügen.

Darüber hinaus nutzen auch die Antiker in der Fernsehserie Stargate das Oktalsystem.
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