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Brüche der Größe nach sortieren

Tipp von Redaktion
Mit der Bruchrechnung tun sich nicht nur viele Kinder schwer, auch Erwachsene kommen dabei so manches Mal ins Schwitzen. Ausgenutzt wird diese Situation zuweilen im Einzelhandel, wo die Mengenangaben im Verein mit den Preisen den Käufer immer wieder herausfordern. Tatsächlich ist nicht immer die größere Verpackung die günstigere Wahl.

Damit das alles in Zukunft besser klappt, möchten wir hier zeigen, wie man ganz unterschiedliche Bezüge beziehungsweise Verhältnisse, in diesem Fall Brüche, so sortieren kann, dass zuerst der größte Wert angezeigt wird, der sodann vom zweitgrößten Wert und danach vom drittgrößten Wert und so weiter gefolgt wird.

Starten wir mit einem einfachen Beispiel

Wir betrachten die drei Brüche:
  • 1/2

  • 1/3

  • 1/4

Ganz einfach werden Sie nun sagen. Ist doch klar: 1/2 ist größer als 1/3 und dieser Bruch ist wiederum größer als 1/4. Damit haben Sie völlig Recht. Aber wenn Sie nun jemand fragt, dies zu beweisen, wie machen Sie das?

Jeder Bruch darf beliebig erweitert werden

Der Wert des Bruches verändert sich absolut nicht, wenn man Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert:

1/2 = 10/20 = 50/100 = 17/34 = 2/4

Im letzten Schritt wurde lediglich der übersichtliche Faktor 2 verwendet und damit wird 1/2 zu 2/4, ein ziemlich eindeutiger Nachweis, dass 1/2 größer sein muss als 1/4.

Aber wie können wir den Bruch 1/3 in diesen Vergleich integrieren? Nun, da gibt es einen sehr einfachen Trick. Wir suchen einen sogenannten Hauptnenner, mit dem sich alle beteiligten Brüche gut darstellen lassen. Sehr oft findet man diesen schon dadurch, dass man die beiden größten Nennen miteinander multipliziert. In unserem Beispiel (1/2, 1/3, 1/4) sind 3 und 4 die größten Nenner, das heißt, der geeignete Hauptnenner könnte 3*4=12 sein. Probieren wir es also aus und erweitern die drei Brüche so, dass alle mit dem Hauptnenner 12 ausgestattet sind:
  • 1/2 = 6/12

  • 1/3 = 4/12

  • 1/4 = 3/12

Was ist hier passiert? Im ersten Fall multipliziert man den Zähler mit der Hälfte des Hauptnenners (6), im zweiten Fall mit einem Drittel des Hauptnenners (4) und zuletzt geht es mit einem Viertel des Hauptnenners (3) und schon wird die Reihenfolge der Wertigkeit der ursprünglichen Brüche ganz offensichtlich.

Wie lassen sich diese Erkenntnisse verallgemeinern

Jetzt nehmen wir gleich vier Brüche, deren konkrete Zahlenwerte uns egal sind. Um es gleich noch allgemeiner zu gestalten, dürfen auch die Zähler verschieden von 1 sein und stellen alle unterschiedliche Zahlen dar. Was uns nun vorliegt, sieht erst einmal so aus:
  • a/b

  • c/d

  • e/f

  • g/h

Der Hauptnenner, der hier auf jeden Fall funktionieren muss, ist das Produkt aus allen vier Nennern:

Hauptnenner = b * d * f * h

Damit der erste Bruch so erweitert wird, dass er mit diesem Hauptnenner erscheint, müssen wir ihn mit d*f*h erweitern, können hier also das b herauslassen, weil diese Zahl ja bereits in diesem Bruch enthalten ist:

a/b = a*d*f*h/b*d*f*h

Schauen wir uns dazu gleich die restlichen drei Brüche an:

c/d = c*b*f*h/b*d*f*h

e/f = e*b*d*h/b*d*f*h

g/h = g*b*d*f/b*d*f*h

Jetzt haben alle Brüche denselben Hauptnenner und wir brauchen sie nur noch gemäß ihrer Zählerwerte sortieren. Das war gewiss ein bisschen sehr theoretisch und hilft vielleicht nicht jedem wirklich weiter. Daher kommen wir noch mal zurück auf die Erde und nehmen uns ein viel verständlicheres Beispiel vor.

Die Aufgabe heißt:

Ordnen Sie absteigend die Werte der Brüche
  • 3/8

  • 4/5

  • 7/9

  • 2/3

Vielleicht haben Sie ja ein gutes Auge und sehen sofort, was da los ist. Aber wir möchten jetzt mal ganz formal loslegen, damit es jeder in der gleichen Weise mit beliebigen anderen Brüchen nachvollziehen kann.
  • Den ersten Bruch 3/8 erweitern wir mit 5*9*3=135. Damit wird der Zähler zu 3*135=405

  • Den zweiten Bruch 4/5 erweitern wir mit 8*9*3=216. Damit wird sein Zähler zu 4*216=864

  • Den dritten Bruch 7/9 erweitern wir mit 8*5*3=120. Damit wird der Zähler zu 7*120=840

  • Den vierten Bruch 2/3 erweitern wir mit 8*5*9=360. Damit wird der Zähler zu 2*360=720

Die vier obigen, erweiterten Brüche nehmen nun diese Formen an:
  • 405/1080

  • 864/1080

  • 840/1080

  • 720/1080

Damit dürfte die richtige Reihenfolge von groß nach klein wohl klar sein.
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