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Abstand berechnen - Mathematik

Tipp von Redaktion

Von A nach B

Was brauchen wir zum berechnen einer Strecke zwischen Punkt A und Punkt B? Nichts weiter als eine Daumenbreite, einen Fuß, einen Schuh oder eine Leine mit Knoten in gleichmäßigen Abständen.
Bekanntlich verwenden wir noch heute den Begriff Zollstock, ist die Maßeinheit Fuß international gebräuchlich und in der Luft- und Schifffahrt wird die Geschwindigkeit nach wie vor in Knoten angegeben. Selbst im alltäglichen Leben kann kaum jemand auf das Berechnen von Abständen verzichten. Sei es nun Pi mal Daumen, mit dem Taschenrechner, mit einem handlichen Laser-Längenmessgerät oder mit dem Smartphone.

Ein Mann mit Werten

Das ist nicht zuletzt einem Mann zu verdanken, den wir aus dem Mathematikunterricht kennen. Pythagoras von Samos, der namhafte Mathematiker und Philosoph der Antike. Bei zwei bekannten Werten brauchte er zur Bestimmung einer Länge zwischen zwei festen Punkten lediglich ein rechtwinkliges Dreieck. Die Beziehung zwischen dessen Seiten beschrieb er irgendwann im 6. Jahrhundert vor unserer Zeitrechnung. Zur Erinnerung: Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, ist die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks und nennt sich Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten sind die Ankathete und die Gegenkathete.

A Quadrat plus B Quadrat gleich C Quadrat

Die Flächenverhältnisse des rechtwinkligen Dreiecks ergeben sich aus dem nach Pythagoras benannten und weithin bekannten Satz: a² + b² = c². Die Quadrate der Katheten a und b haben zusammen die gleiche Fläche wie das Quadrat der Hypotenuse c. Mit einem Blatt Papier, einem Stift und einem Lineal lässt sich das Theorem beweisen. Universalgenie Leonardo da Vinci und sogar ein amerikanischer Präsident, James Garfield, erbrachten eigene Beweise des wohl bekanntesten Lehrsatzes der elementaren Geometrie.

Quadratisch abstrakt verpackt

Stellen wir uns ein Quadrat vor, in dem sich ein kleineres, schräg eingesetztes Quadrat befindet. Die vier Eckpunkte dieses Quadrates liegen genau auf den Linien des größeren. Dass innere Quadrat mit den Seiten c und somit der Fläche c² wird umgeben von vier Dreiecken mit den Seiten a, b und c. Die Fläche der vier Dreiecke beträgt dementsprechend vier mal die Seite a multipliziert mit der Seite b geteilt durch 2 (4ab/2), welches 2·a·b ergibt. Zusammen mit der Fläche c² erhalten wir also die Gesamtfläche des größeren Quadrats durch die Formel A=c²+2·a·b.

Was zu beweisen war

Ebenso sehen wir, dass die Fläche des äußeren Quadrates durch die Multiplikation der Seitenlängen errechnet werden kann. Sie setzen sich aus a und b zusammen und wir erhalten die Formel: A=(a+b)·(a+b). Folgerichtig erhalten wir eine Gleichung auf dessen beiden Seiten 2·a·b steht und sich somit aufhebt. Durch Umstellen der Gleichung ist es nun ein Leichtes, den Abstand zweier Punkten zu berechnen. So ergibt sich die Länge der Seite c aus der Wurzel von a²+b², sofern die Längenwerte a und b bekannt sind.

(a+b)·(a+b) = c²+2·a·b

a²+2·a·b+b² = c²+2·a·b

a²+b² = c²

c =  √ a²+b² 

Abstände im Koordinatensystem

Gleichzeitig lässt sich aus der Formel die Berechnung von Abständen zwischen zwei Punkten in einem Koordinatensystem ableiten. Dies kann eine Darstellung im mehrdimensionalen Raum oder etwa eine zweidimensionale Landkarte sein. Zur Vereinfachung orientieren wir uns in einem geometrischen Raster anstatt der Himmelsrichtungen an den Koordinatenachsen x und y, wobei die x-Achse der Richtung West nach Ost, die y-Achse der Richtung Süd nach Nord entspricht. Wie die Schnittstellen von Breiten- und Längengraden Positionsbestimmungen zulassen, können wir Position und Abstand zwischen den Punkten x1,y1 und x2,y2 unter Anwendung folgender Formel festlegen und bestimmen:

(x2−x1)²+(y2−y1)²

Egal ob rechtwinklig oder nicht

Damals wie heute wollen Menschen Abstände zwischen sich bewegenden Punkten in jedem geometrischen Körper errechnen. Bereits die auf Pythagoras folgenden Mathematiker des Altertums erschufen die Trigonometrie als Teilgebiet der Geometrie. Allein durch die drei Grundformeln Sinus, Cosinus und Tangens waren seither die Winkel über die Seitenverhältnisse im Dreieck ermittelbar. Gleichermaßen waren die Seitenlängen im Dreieck über Winkel zu bestimmen. Auch die Grundformeln des Kosinussatz mit den Winkeln Alpha (α), Beta (β) oder Gamma (γ) lassen den Satz des Pythagoras wiedererkennen.

a² = b²+c² - 2bc·cos(α)

b² = a²+c² - 2ac·cos(β)

c² = a²+b² - 2ab·cos(γ)

Mit Abstand größten technologischer Vorsprung erreichen

Das Wissen der Trigonometrie zur Ermittlung von kleinen und großen Strecken hatte weitreichende Folgen in unserer Entwicklungsgeschichte. Sei es die Höhe eines Baumes im Stadtpark abzuschätzen oder den Durchmesser eines Schwarzen Loches im Universum zu ermitteln, stets stützen wir uns auf mathematische oder physikalische Entdeckungen der Vergangenheit. Pythagoras, aber auch Kepler, Copernicus, Descartes, Newton, Gauss bis hin zu ihren ebenso berühmten Nachfolgern wie Einstein oder Hawkings haben dazu beigetragen. Ein Know-how, das unzählige kluge Köpfe aus allen Tätigkeitsbereichen zur Anwendung und Vollendung brachten.

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